Как вычислить сопряжение радиусов. Сопряжения — Гипермаркет знаний

Сопряжение двух параллельных прямых

Заданы две параллельные прямые и на одной из них точка сопряжения М (рис. 2.19, а ). Требуется построить сопряжение.

1) находят центр сопряжения и радиус дуги (рис. 2.19, б). Для этого из точки М восставляют перпендикуляр до пересечения с прямой в точке N. Отрезок MN делят пополам (см. рис. 2.7);
2) из точки О – центра сопряжения радиусом ОМ = ON описывают дугу от точек сопряжения М и N (рис. 2.19, в ).

Рис. 2.19.

Даны окружность с центром О и точка А. Требуется провести из точки А касательную к окружности.

1. Точку А соединяют прямой с заданным центром О окружности.

Строят вспомогательную окружность диаметром, равным ОА (рис. 2.20, а ). Чтобы найти центр О 1, делят отрезок ОА пополам (см. рис. 2.7).

2. Точки M и N пересечения вспомогательной окружности с заданной – искомые точки касания. Точку А соединяют прямыми с точками М или N (рис. 2.20, б ). Прямая AM будет перпендикулярна прямой ОМ, так как угол АМО опирается на диаметр.

Рис. 2.20.

Проведение прямой, касательной к двум окружностям

Даны две окружности радиусов R и R 1. Требуется построить прямую, касательную к ним.

Различают два случая касания: внешнее (рис. 2.21, б ) и внутреннее (рис. 2.21, в ).

При внешнем касании построение выполняют следующим образом:

1) из центра О проводят вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов заданных окружностей, т.е. R – R 1 (рис. 2.21, а ). К этой окружности из центра О1 проводят касательную прямую Ο 1Ν. Построение касательной показано на рис. 2.20;
2) радиус, проведенный из точки О в точку Ν, продолжают до пересечения в точке М с заданной окружностью радиуса R. Параллельно радиусу ОМ проводят радиус Ο 1Ρ меньшей окружности. Прямая, соединяющая точки сопряжений М и Р, – касательная к заданным окружностям (рис. 2.21, б ).

Рис. 2.21.

При внутреннем касании построение проводят аналогично, но вспомогательную окружность проводят радиусом, равным сумме радиусов R + R 1 (рис. 2.21, в ). Затем из центра О 1 проводят касательную к вспомогательной окружности (см. рис. 2.20). Точку N соединяют радиусом с центром О. Параллельно радиусу ON проводят радиус O1Р меньшей окружности. Искомая касательная проходит через точки сопряжений М и Р.

Сопряжение дуги и прямой дугой заданного радиуса

Даны дуга окружности радиуса R и прямая. Требуется соединить их дугой радиуса R 1.

1. Находят центр сопряжения (рис. 2.22, а ), который должен находиться на расстоянии R 1 от дуги и от прямой. Поэтому проводят вспомогательную прямую, параллельную заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу сопрягающей дуги R1) (рис. 2.22, а ). Раствором циркуля, равным сумме заданных радиусов R + R 1 описывают из центра О дугу до пересечения со вспомогательной прямой. Полученная точка О1 – центр сопряжения.
2. По общему правилу находят точки сопряжения (рис. 2.22, б ): соединяют прямой центры сопрягаемых дуг O1 и О и опускают из центра сопряжения Ο 1 перпендикуляр на заданную прямую.
3. Из центра сопряжения Οχ между точками сопряжения Μ и Ν проводят дугу, радиус которой R 1 (рис. 2.22, б ).

Рис. 2.22.

Сопряжение двух дуг дугой заданного радиуса

Даны две дуги, радиусы которых R 1 и R 2. Требуется построить сопряжение дугой, радиус которой задан.

Различают три случая касания: внешнее (рис. 2.23, а, б ), внутреннее (рис. 2.23, в ) и смешанное (см. рис. 2.25). Во всех случаях центры сопряжений должны быть расположены от заданных дуг на расстоянии радиуса дуги сопряжения.

Рис. 2.23.

Построение выполняют следующим образом:

Для внешнего касания:

1) из центров Ο 1 и О2 раствором циркуля, равным сумме радиусов заданной и сопрягающей дуг, проводят вспомогательные дуги (рис. 2.23, а ); радиус дуги, проведенной из центра Ο 1, равен R 1 + R 3; а радиус дуги, проведенной из центра O2, равен R 2 + R 3. На пересечении вспомогательных дуг расположен центр сопряжения – точка O3;
2) соединив прямыми точку Ο1 с точкой 03 и точку O2 с точкой O3, находят точки сопряжения M и N (рис. 2.23, б );
3) из точки 03 раствором циркуля, равным R 3, между точками Μ и Ν описывают сопрягающую дугу.

Для внутреннего касания выполняют те же построения, но радиусы дуг берут равными разности радиусов заданной и сопрягающей дуг, т.е. R 4 – R 1 и R 4 – R 2. Точки сопряжения Р и К лежат на продолжении линий, соединяющих точку O4 с точками O1 и O2 (рис. 2.23, в ).

Для смешанного (внешнего и внутреннего ) касания (1-й случай):

1) раствором циркуля, равным сумме радиусов R 1 и R 3, из точки O2, как из центра, проводят дугу (рис. 2.24, а);
2) раствором циркуля, равным разности радиусов R 2 и R 3, из точки O2 проводят вторую дугу, пересекающуюся с первой в точке O3 (рис. 2.24, б );
3) из точки О1 проводят прямую линию до точки O3, из второго центра (точка O2) проводят прямую через точку O3 до пересечения с дугой в точке М (рис. 2.24, в).

Точка O3 является центром сопряжения, точки М и N – точками сопряжения;

4) поставив ножку циркуля в точку O3, радиусом R 3 проводят дугу между точками сопряжения Μ и Ν (рис. 2.24, г ).

Рис. 2.24.

Для смешанного касания (2-й случай):

1) две сопрягаемые дуги окружностей радиусов R 1 и R 2 (рис. 2.25);
2) расстояние между центрами О i и O2 этих двух дуг;
3) радиус R 3 сопрягающей дуги;

требуется:

1) определить положение центра O3 сопрягающей дуги;
2) найти на сопрягаемых дугах точки сопряжения;
3) провести дугу сопряжения

Последовательность построения

Откладывают заданные расстояния между центрами Ο 1 и O2. Из центра О 1 проводят вспомогательную дугу радиусом равным сумме радиусов сопрягаемой дуги радиуса R 1 и сопрягающей дуги радиуса R 3, а из центра O2 проводят вторую вспомогательную дугу радиусом, равным разности радиусов R 3 и R 2, до пересечения с первой вспомогательной дугой в точке O3, которая будет искомым центром сопрягающей дуги (рис. 2.25).

Рис. 2.25.

Точки сопряжения находят по общему правилу, соединяя прямыми центры дуг O3 и O1, O 3 и O2. На пересечении этих прямых с дугами соответствующих окружностей находят точки М и N.

Лекальные кривые

В технике встречаются детали, поверхности которых ограничены плоскими кривыми: эллипсом, эвольвентной окружностью, спиралью Архимеда и др. Такие кривые линии нельзя вычертить циркулем.

Их строят по точкам, которые соединяют плавными линиями с помощью лекал. Отсюда название лекальные кривые.

Приведена на рис. 2.26. Каждая точка прямой, если ее катить без скольжения по окружности, описывает эвольвенту.

Рис. 2.26.

Рабочие поверхности зубьев большинства зубчатых колес имеют эвольвентное зацепление (рис. 2.27).

Рис. 2.27.

Спираль Архимеда изображена на рис. 2.28. Это плоская кривая, которую описывает точка, равномерно движущаяся от центра О по вращающемуся радиусу.

Рис. 2.28.

По спирали Архимеда нарезают канавку, в которую входят выступы кулачков самоцентрирующего трехкулачкового патрона токарного станка (рис. 2.29). При вращении конической шестерни, на обратной стороне которой нарезана спиральная канавка, кулачки сжимаются.

При выполнении этих (и других) лекальных кривых на чертеже можно для облегчения работы воспользоваться справочником.

Размеры эллипса определяются величиной его большой АВ и малой CD осей (рис. 2.30). Описывают две концентрические окружности. Диаметр большей равен длине эллипса (большой оси АВ ), диаметр меньшей – ширине эллипса (малой оси CD ). Делят большую окружность на равные части, например на 12. Точки деления соединяют прямыми, проходящими через центр окружностей. Из точек пересечения прямых с окружностями проводят линии, параллельные осям эллипса, как показано на рисунке. При взаимном пересечении этих линий получают точки, принадлежащие эллипсу, которые, соединив предварительно от руки тонкой плавной кривой, обводят с помощью лекала.

Рис. 2.29.

Рис. 2.30.

Практическое применение геометрических построений

Дано задание: выполнить чертеж ключа, показанного на рис. 2.31. Как это сделать?

Прежде чем начинать чертить, проводят анализ графического состава изображения, чтобы установить, какие случаи геометрических построений необходимо применить. На рис. 2.31 показаны эти построения.

Рис. 2.31.

Чтобы вычертить ключ, нужно провести взаимно перпендикулярные прямые, описать окружности, построить шестиугольники, соединив верхние и нижние их вершины прямыми, выполнить сопряжение дуг и прямых дугами заданного радиуса.

Какова последовательность этой работы?

Вначале проводят те линии, положение которых определено заданными размерами и не требует дополнительных построений (рис. 2.32, а ), т.е. проводят осевые и центровые линии, описывают по заданным размерам четыре окружности и соединяют концы вертикальных диаметров меньших окружностей прямыми линиями.

Рис. 2.32.

Дальнейшая работа по выполнению чертежа требует применения изложенных в п. 2.2 и 2.3 геометрических построений.

В данном случае нужно построить шестиугольники и выполнить сопряжение дуг с прямыми (рис. 2.32, б ). Это и будет второй этап работы.

Модуль: Графическое оформление чертежей.

Результат 1: Уметь оформлять форматы стандартных листов в соответствии с ГОСТ 2.303 – 68. Иметь навыки по вычерчиванию контуров деталей, уметь наносить размеры, уметь выполнять надписи в соответствии с ГОСТ 2.303 – 68.

Результат 2: Знать правила построения и иметь навыки по построению сопряжения. Уметь объяснять правила построения.

1. Правила оформления форматов, правила заполнения основной надписи в соответствии со стандартом.
2. Правила нанесения размеров, типы линий.
3. Правила выполнения надписей шрифтами в соответствии с ГОСТ 2.303 – 68.
4. Правила вычерчивания контуров технических деталей. Геометрические построения.
5. Правила вычерчивания и построение сопряжений.

Тема урока: Правила построения сопряжений.

Цели:

Знать определение сопряжения, типы сопряжений.
Уметь строить сопряжения и объяснять ход построения.
Развивать техническую грамотность.
Развивать навыки работы в группе и самостоятельной работы.
Воспитывать уважительное отношение к выступающему, умение слушать.

ХОД УРОКА

1. Организационно-мотивационный этап – 10 минут.

1.1. Мотивация учащихся:

связь с другими предметами;
рассмотрение деталей, геометрических тел из которых состоят детали и сопряжения между ними (плавные переходы одной лини в другую);

1.2. Деление группы на подгруппы по 5-6 человек (на четыре подгруппы).

Всем студентам группы предлагается выбрать из четырех видов геометрических фигур одну на выбор, после того, как выбор сделан, студенты объединяются в подгруппы, для самостоятельной работы в подгруппах.
Студентам сообщается, какую тему им предстоит изучить, познакомиться с правилами построения сопряжений, которые помогут им понять, как строятся плавные переходы (сопряжения). Каждой группе предлагается изучить и представить один из видов сопряжения (преподаватель каждому раздает материал по теме занятия по разделам).

2. Организация самостоятельной деятельности учащихся по теме урока – 25 минут.

2.1. Понятие сопряжения.
2.2. Общий алгоритм построения сопряжений.
2.3. Виды сопряжения. Правила их построения.
2.3.1. Сопряжение между двух прямых.
2.3.2. Сопряжение внутреннее и внешнее между прямой и дугой окружности.
2.3.3. Сопряжение внутренне и внешнее между двух дуг окружностей.
2.3.4. Смешанное сопряжение.
3. Подведение итогов, доклады групп по теме после самостоятельной работы в подгруппах- 25 минут.
4. Проверка степени усвоения материала – 10 минут.
5. Заполнение дневников (о проведенном занятии) – 5 минут.
6. Оценка деятельности учащихся.

Сопряжение – это плавный переход одной линии в другую.

3. Построить сопряжение (плавный переход одной линии в другую)
2. 3.1. Построение сопряжения двух сторон угла окружности заданного радиуса.

Сопряжение двух сторон угла (острого и тупого) дугой заданного радиуса R выполняют следующим образом:

Параллельно сторонам угла на расстоянии, равном радиусу дуги R, проводят две вспомогательные прямые линии. Точка пересечения этих прямых (точка О) будет центром дуги радиуса R, т.е центром сопряжения. Из точки О описывают дугу, плавно переходящую в прямые – стороны угла. Дугу заканчивают в точках сопряжения n и n1, которые являются основаниями перпендикуляров, опущенных из центра О на стороны угла. При построении сопряжения сторон прямого угла центр дуги сопряжения проще находить с помощью циркуля. Из вершины угла А проводят дугу радиусом R до взаимного пересечения в точке О, являющейся центром сопряжения. Из центра О описывают дугу сопряжения. Построение сопряжения двух сторон угла показано на рис.1.

Общий алгоритм построения сопряжения:

1. Необходимо найти точку сопряжения.
2. Необходимо найти точки сопряжения.
3. Построение сопряжения (плавного перехода одной линии в другую).
2.3.2 Построение внутреннего и внешнего сопряжения между прямой и дугой окружности.

Сопряжение прямой с дугой окружности может быть выполнено при помощи дуги с внутренним касанием дуги и внешним касанием. На рисунке 2(а, б) показано сопряжение дуги окружности радиусом Rи прямой линии АВ дугой окружности радиуса r с внешним касанием. Для построения такого сопряжения проводят окружность радиуса R и прямую АВ. Параллельно заданной прямой на расстоянии, равному радиусу r (радиус сопрягающей дуги), проводят прямую ab. Из центра О проводят дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов R и r, до пересечения ее с прямой ab в точке О1. Точка О1 является центром дуги сопряжения. Точку сопряжения с находят на пересечении прямой ОО1 с дугой окружности радиуса R. Точка сопряжения О1 на данную прямую АВ. При помощи аналогичных построений могут быть найдены точки О2, с2, с3. На рисунке 2(а, б) показан кронштейн, при вычерчивании которого необходимо выполнить построения, описанные выше.

При вычерчивании маховика, выполнено сопряжение дуги радиуса R с прямой АВ дугой радиуса r с внутренним касанием. Центр дуги сопряжения О1 находится на пересечении вспомогательной прямой, проведенной параллельно данной прямой на расстоянии r, с дугой вспомогательной окружности, описанной из центра О радиусом, равным разности R-r. Точка сопряжения с 1 является основанием перпендикуляра, опущенного из точки О1 на данную прямую. Точку сопряжения с находят на пересечении прямой ОО1 с сопрягаемой дугой. Пример построения сопряжения прямой с дугой окружности показан на рисунке 3.

Сопряжение – это плавный переход одной лини в другую.

Общий алгоритм построения сопряжения:

1. Необходимо найти центр сопряжения.
2. Необходимо найти точки сопряжения.
3. Построение линии сопряжения (плавного перехода одной лини в другую).

2.3.3. Построение сопряжения между двух дуг окружностей.

Сопряжение двух дуг окружностей может быть внутреннее и внешнее.
При внутреннем сопряжении центры О и О1 сопрягаемых дуг находятся внутри сопрягающей дуги радиуса R. При внешнем сопряжении центры О и О1 сопрягаемых дуг радиусов R1 и R2 находятся вне сопрягающей дуги радиуса R.
Построение внешнего сопряжения:

а) радиусы сопрягаемых окружностей R и R1;

Требуется:

Показано на рисунке 4(б) . По заданным расстояниям между центрами на чертеже намечают центры О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R и R1. Из центра О1 проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой дуги R2, а из центра О – радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой дуги R1. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая и будет искомым центром сопрягающей дуги. Для нахождения точек пересечения продолжения прямых О2О и О2О1 с сопрягаемыми дугами являются искомыми точками сопряжения (точки s и s1).

Построение внутреннего сопряжения:

а) радиусы R и R1 сопрягаемых дуг окружностей;
б) расстояния между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги;

Требуется:

а) определить положение О2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения s и s1;
в) провести дугу сопряжения;

Построение внешнего сопряжения показано на рисунке 4(в). По заданным расстояниям на чертеже находят точки О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R1 и R2. Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R2 и сопрягающей R. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая будет искомым центром сопрягающей дуги. Для нахождения точек сопряжения центры дуг соединяют прямыми линиями ОО2 и О1О2. Эти две прямые пересекают сопрягаемые дуги в точках сопряжения s и s1. Из центра О2 радиусом Rпроводят сопрягающую дугу, ограничивая ее точками S и S1.

2.3.4. Построение смешанного сопряжения.

Пример смешанного сопряжения показан на рисунке 5.

а) Заданы радиусы R и R1 сопрягаемых дуг сопряжения;
б) расстояния между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги;

Требуется:

а) определить положение центра О2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения s и s1;
в) провести дугу сопряжения;

По заданным расстояниям между центрами на чертеже намечают центры О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R1 и R2. Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R1 и сопрягающей R, а из центра О1 – радиусом, равным разности радиусов R и R2. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая будет искомым центром сопрягающей дуги. Соединив точки О и О2 прямой, получают точку сопряжения s1; соединив точки О1 и О2, находят точку сопряжения s. Из центра О2 проводят дугу сопряжения от s до s1. На рисунке 5 показан пример построения смешанного сопряжения.

3. Подведение итогов самостоятельной работы студентов в группах. Доклады студентов по каждому разделу темы занятия у доски.
4. Проверка степени усвоения знаний учащихся. Студенты каждой из групп задают вопросы студентам другой группы.
5. Заполнение дневников. Каждому студенту по итогам занятия предлагается заполнить дневник.

Для того чтобы получить хороший объем знаний, важно зафиксировать, насколько успешно прошло занятие. Этот дневник дает возможность записывать в течение занятия каждую деталь вашей работы при изучении модуля. Если вы довольны, удовлетворены, разочарованы тем, как пошло ваше занятие, то отметьте ваше отношение к элементам урока в соответствующей клетке анкеты.

Элементы урока

Довольны

Удовлетворены

Разочарованы

Плавный переход прямой линии в дугу или одной дуги в другую называют сопряжением. Для построения сопряжения надо найти центры, из которых проводят дуги, т. е. центры сопряжений (рис. 63). Затем нужно найти точки, в которых одна линия переходит в другую, т. е. точки сопряжений. При построении контура изображения сопрягающиеся линии нужно доводить точно до этих точек. Точка сопряжения лежит на перпендикуляре, опущенном из центра О дуги на сопрягаемую прямую (рис. 64, а), или на линии О 1 О 2 , соединяющей центры сопрягаемых дуг (рис. 64, б). Следовательно, для построения любого сопряжения дугой заданного радиуса нужно найти центр сопряжения и точку сопряжения.

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса. Даны пересекающиеся под прямым, острым и тупым углами прямые линии (рис. 65, а). Нужно построить сопряжения этих прямых дугой заданного радиуса R.

Для всех трех случаев применяют общий способ построения.

1. Находят точку О - центр сопряжения, который должен лежать на расстоянии R от сторон угла в точке пересечения прямых, проходящих параллельно сторонам угла на расстоянии R от них (рис. 65, б).

Для построения прямых, параллельных сторонам угла, из произвольных точек, взятых на прямых, раствором циркуля, равным R, делают засечки и к ним проводят касательные.

2. Находят точки сопряжений (рис. 65, в). Для этого опускают перпендикуляры из точки О на заданные прямые.

3. Из точки О, как из центра, описывают дугу заданного радиуса R между точками сопряжений (рис. 65, в).

Сопряжение двух параллельных прямых. Заданы две параллельные прямые и на одной из них точка сопряжения т (рис. 66, а). Требуется построить сопряжение.

Построение выполняют следующим образом:

1. Находят центр сопряжения и радиус дуги (рис. 66, б). Для этого из точки m на одной прямой восставляют перпендикуляр до пересечения с другой прямой в точке п. Отрезок делят пополам (см. рис. 56).

2. Из точки О - центра сопряжения радиусом Оm = Оn описывают дугу до точек сопряжения тип (рис. 66, в).

Проведение касательной к окружности. Задана окружность с центром О и точка А (рис. 67, а). Требуется провести из точки А касательную к окружности.

1. Точку А соединяют прямой с заданным центром О окружности.

Строят вспомогательную окружность диаметром, равным ОА (рис. 67, а). Чтобы найти центр О 1 делят отрезок ОА пополам (см. рис. 56).

2. Точки m и n пересечения вспомогательной окружности с заданной - искомые точки касания. Точку А соединяют прямой с точками m или n (рис. 67, б). Прямая Am будет перпендикулярна к прямой Оm, так как угол АmО опирается на диаметр.

Проведение прямой, касательной к двум окружностям. Заданы две окружности радиусом R и R 1 . Требуется построить касательную к ним.

Различают два случая касания: внешнее (рис. 68, б) и внутреннее (рис. 68, в).

При внешнем касании построение выполняют следующим образом:

1. Из центра О проводят вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов заданных окружностей, т. е. R - R 1 (рис. 68, а). К этой окружности из центра О 1 проводят касательную Оm. Построение касательной показано на рис. 67.

2. Радиус, проведенный из точки О в точку n, продолжают до пересечения в точке m с заданной окружностью радиусом R. Параллельно радиусу Оm проводят радиус 0 1 р меньшей окружности. Прямая, соединяющая точки сопряжений m и р,- касательная к заданным окружностям (рис. 68, б).

При внутреннем касании построение проводят аналогично, но вспомогательную окружность проводят радиусом, равным сумме радиусов R + R 1 (см. рис. 68, в). Затем из центра O 1 проводят касательную к вспомогательной окружности (см. рис. 67). Точку n соединяют радиусом с центром О. Параллельно радиусу On проводят радиус O 1 р меньшей окружности. Искомая касательная проходит через точки сопряжений m и р.

Сопряжение дуги и прямой линии дугой заданного радиуса. Заданы дуга окружности радиусом R и прямая. Требуется соединить их дугой радиусом R 1 .

1. Находят центр сопряжения (рис. 69, а), который должен находиться на расстоянии R 1 от дуги и от прямой. Такому условию соответствует точка пересечения прямой линии, параллельной заданной прямой, проходящей от нее на расстоянии R 1 , и вспомогательной дуги, отстоящей от заданной также на расстоянии R 1 . Поэтому проводят вспомогательную прямую, параллельную заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу сопрягающей дуги R 1 (рис. 69, а). Раствором циркуля, равным сумме заданных радиусов R + R 1 , описывают из центра О дугу до пересечения с вспомогательной прямой. Полученная точка O 1 - центр сопряжения.

2. По общему правилу находят точки сопряжения (рис. 69, б). Соединяют прямой центры сопрягаемых дуг O 1 и О. Опускают из центра сопряжения O 1 перпендикуляр на заданную прямую.

3. Из центра сопряжения O 1 между точками сопряжения m и n проводят дугу, радиус которой равен R 1 (см. рис. 69, б).

Сопряжение двух дуг окружности дугой заданного радиуса. Заданы две дуги радиусами R 1 и R 2 . Требуется построить сопряжение дугой, радиус которой задан.

Различают два случая касания: внешнее (рис. 70, б) и внутреннее (рис. 70, в). В обоих случаях центры сопряжений должны быгь расположены на расстоянии, равном радиусу дуги сопряжения, от заданных дуг. По общему правилу на прямых, соединяющих центры сопрягаемых дуг, находят точки сопряжения.

Ниже приведен порядок построения для внешнего и внутреннего касаний.

Для внешнего касания. 1. Из центров O 1 и О 2 раствором циркуля, равным сумме радиусов заданной и сопрягающей дуг, проводят вспомогательные дуги (рис. 70, а); радиус дуги, проведенной из центра O 1 , равен R + R 3 , а радиус дуги, проведенной из центра O 2 , равен R 2 + R 3 . На пересечении вспомогательных дуг расположен центр сопряжения - точка О 3 ,.

2. Соединив прямыми точку O 1 с точкой O 3 и точку O 2 с точкой O 3 , находят точки сопряжения m и n (см. рис. 70, б),

3. Из точки О 3 раствором циркуля, равным R 3 , между точками m и n описывают сопрягающую дугу.

Для внутреннего касания выполняют те же построения, но радиусы дуг берут равными разности радиусов сопрягающей и заданной дуг, т.е. R 4 -R 1 и R 4 -R 2 . Точки сопряжения р и k лежат на продолжении линий, соединяющих точку О 4 с точками O 1 и O 2 .

Рис. 1
а) рычаг; б) двурогий крюк

Сопряжением называется плавный переход одной линии в другую.

Для построения сопряжения надо найти:

1. центры сопряжений, из которых проводят дуги;
2. точки сопряжений, в которых одна линия переходит в другую (при построении контура изображения сопрягающиеся линии нужно доводить точно до этих точек);
3. радиус сопряжения (обычно он задан).

Сопряжения бывают нескольких видов:

1) сопряжение двух прямых , расположенных:

а) под прямым углом;
б) под острым углом;
в) под тупым углом;
г) параллельно.

2) сопряжение прямой и дуги:

а) проведение касательной к окружности от точки,принадлежащей окружности;
б) проведение касательной к окружности от точки, не принадлежащей окружности;
в) сопряжение дуги и прямой линии дугой заданного радиуса.
3) сопряжение двух дуг :
а) внешнее сопряжение;
б) внутреннее сопряжение;
в) смешанное сопряжение. Разберём все по-порядку.

Сопряжение двух прямых, расположенных под прямым углом дугой окружности заданного радиуса.

При выполнении чертежей деталей, выполняют построение сопряжения двух сторон угла дугой окружности заданного радиуса (рис.2).

Рис. 2

а)сопряжение сторон острого угла; б) сопряжение сторон тупого угла.

Даны прямые линии под прямым, острым и тупым углами (рис. 3, 4, 5). Нужно построить сопряжения этих прямых дугой заданного радиуса R .

Для всех трех случаев применяют общий способ построения.

1. Находят точку О - центр сопряжения, который должен лежать на расстоянии R от сторон угла в точке пересечения прямых, проходящих параллельно сторонам угла на расстоянии >R от них (рис. 3, 4, 5). Для построения прямых, параллельных сторонам угла, из произвольных точек, взятых на прямых, раствором циркуля, равным R, делают засечки и к ним проводят касательные.

2. Находят точки сопряжений, для этого опускают перпендикуляры из точки О на заданные прямые. 3. Из точки О, как из центра, описывают дугу заданного радиуса R между точками сопряжений (рис. 3, 4, 5).

Рис. 3. Сопряжение прямого угла

Рис. 4. Сопряжение острого угла

Рис.5. Сопряжение тупого угла

Сопряжение двух параллельных прямых <

Заданы две параллельные прямые и на одной из них точка сопряжения m (рис. 6,а). Требуется построить сопряжение.

Построение выполняют следующим образом:

1. Находят центр сопряжения и радиус дуги (рис. 6,б). Для этого из точки m на одной прямой проводят перпендикуляр до пересечения с другой прямой в точке n. Отрезок делят пополам (см. здесь).

2. Из точки О - центра сопряжения радиусом Оm = Оn описывают дугу до точек сопряжения m и n (рис. 6, в).

Рис.6. Сопряжение двух параллельных прямых

Сопряжения прямой с дугой окружности

Проведение касательной к окружности от точки, принадлежащей окружности

Если задана окружность и надо построить касательную к этой окружности в заданной точке, то строят перпендикуляр к прямой, проходящий через центр окружности и заданную точку (рис.7).

Рис. 7

Проведение касательной к окружности от точки, не принадлежащей окружности

Задана окружность с центром О и точка А (рис. 8, а). Требуется провести из точки А касательную к окружности.

1. Точку А соединяют прямой с заданным центром О окружности.

Строят вспомогательную окружность диаметром, равным О 1 А (рис. 8, а). Чтобы найти центр О 1 - делят отрезок ОА пополам (см. здесь).

2. Точки m и n пересечения вспомогательной окружности с заданной - искомые точки касания. Точку А соединяют прямой с точками m или n (рис. 8, б). Прямая Am будет перпендикулярна к прямой Оm , так как угол АmО опирается на диаметр.

Рис. 8. Построение касательной к окружности

Проведение прямой, касательной к двум окружностям

Заданы две окружности радиусом R и R 1 . Требуется построить касательную к ним.

Различают два случая касания: внешнее (рис. 9,б) и внутреннее (рис. 9, в).

При внешнем касании построение выполняют следующим образом:

1. Из центра О проводят вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов заданных окружностей, т. е. R - R 1 (рис. 9, а). К этой окружности из центра О 1 проводят касательную Оm . Построение касательной показано на рис. 8.

2. Радиус, проведенный из точки О в точку n , продолжают до пересечения в точке m с заданной окружностью радиусом R . Параллельно радиусу Оm проводят радиус 0 1 р меньшей окружности. Прямая, соединяющая точки сопряжений m и р ,- касательная к заданным окружностям (рис. 9, б).

При внутреннем касании построение проводят аналогично, но вспомогательную окружность проводят радиусом, равным сумме радиусов R + R 1 (см. рис. 9, в). Затем из центра O 1 проводят касательную к вспомогательной окружности (см. рис. 8). Точку n соединяют радиусом с центром О . Параллельно радиусу On проводят радиус O 1 р меньшей окружности. Искомая касательная проходит через точки сопряжений m и р .

Рис. 9. Построение касательной к двум окружностям

Сопряжение дуги и прямой линии дугой заданного радиуса

Заданы дуга окружности радиусом R и прямая. Требуется соединить их дугой радиусом R 1 .

1. Находят центр сопряжения (рис. 10,а), который должен находиться на расстоянии R 1 от дуги и от прямой. Такому условию соответствует точка пересечения прямой линии, параллельной заданной прямой, проходящей от нее на расстоянии R 1 , и вспомогательной дуги, отстоящей от заданной также на расстоянии R 1 . Поэтому проводят вспомогательную прямую, параллельную заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу сопрягающей дуги R 1 (рис. 10, а). Раствором циркуля, равным сумме заданных радиусов R + R 1 , описывают из центра О дугу до пересечения с вспомогательной прямой. Полученная точка O 1 - центр сопряжения.

2. По общему правилу находят точки сопряжения (рис. 10, б). Соединяют прямой центры сопрягаемых дуг O 1 и О . Опускают из центра сопряжения O 1 перпендикуляр на заданную прямую.

3. Из центра сопряжения O 1 между точками сопряжения m и n проводят дугу, радиус которой равен R 1 (см. рис. 10, б).

Рис. 10. Сопряжение дуги окружности и прямой

Сопряжение двух дуг окружности дугой заданного радиуса

Заданы две дуги радиусами R 1 и R 2 . Требуется построить сопряжение дугой, радиус которой задан.

Различают три случая касания: внешнее , внутреннее и смешанное .

При внешнем сопряжении центры О 1 и О 2 сопрягаемых дуг радиусов R 1 и R 2 находятся вне сопрягающей дуги радиуса R (рис. 11, а).

При внутреннем сопряжении центры О 1 и О 2 сопрягаемых дуг находятся внутри сопрягающей дуги радиуса R (рис. 11, б).

При смешанном сопряжении центр О 1 одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги радиуса R , а центр О 2 другой сопрягаемой дуги вне ее (рис.13).

Во всех случаях центры сопряжений должны быть расположены на расстоянии, равном радиусу дуги сопряжения, от заданных дуг. По общему правилу на прямых, соединяющих центры сопрягаемых дуг, находят точки сопряжения.

Рис. 11. Сопряжение дуг окружностей

а) внешнее сопряжение; б) внутреннее сопряжение

Ниже приведен порядок построения для внешнего и внутреннего сопряжения.

Для внешнего сопряжения:

1. Из центров O 1 и О 2 раствором циркуля, равным сумме радиусов заданной и сопрягающей дуг, проводят вспомогательные дуги (рис. 12,а); радиус дуги, проведенной из центра O 1 , равен R + R 3 , а радиус дуги, проведенной из центра O 2 , равен R 2 + R 3 . На пересечении вспомогательных дуг расположен центр сопряжения - точка О 3 ,.

2. Соединив прямыми точку O 1 с точкой O 3 и точку O 2 с точкой O 3 , находят точки сопряжения m и n (см. рис. 12, б),

3. Из точки О 3 раствором циркуля, равным R 3 , между точками m и n описывают сопрягающую дугу.

Для внутреннего сопряжения выполняют те же построения, но радиусы дуг берут равными разности радиусов сопрягающей и заданной дуг, т.е. R 4 - R 1 и R 4 - R 2 . Точки сопряжения р и k лежат на продолжении линий, соединяющих точку О 4 с точками O 1 и O 2 .

Рис. 12. Сопряжение двух дуг окружности

Построение смешанного сопряжения

Заданы две дуги радиусами R 1 и R 2 с заданным расстоянием между центрами. Требуется построить сопряжение дугой, радиус которой задан.

По заданному расстоянию между центрами на чертеже намечают центры О 1 и О 2 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О 1 проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным разности радиусов сопрягающей R и сопрягаемой дуги R 1 , а из центра О 2 - радиусом, равным сумме радиусов R и R 2 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке О, которая будет искомым центром сопрягающей дуги.

Соединив точки О и О 1 прямой, находят точку сопряжения А; соединив точки О и О 2 , получают точку сопряжения В. Из центра О проводят дугу сопряжения от А до В.

Рис. 13. Смешанное сопряжение

Для точного и правильного выполнения чертежей необходимо уметь выполнять построения сопряжений, которые основаны на двух положениях.

1. Для сопряжения прямой линии и дуги необходимо, чтобы центр окружности, которой принадлежит дуга, лежал на перпендикуляре к прямой, восставленном из точки сопряжения.

2. Для сопряжения двух дуг необходимо, чтобы центры окружностей, которым принадлежат дуги, лежали на прямой, проходящей через точку сопряжения.

При вычерчивании контура детали необходимо разобраться, где имеются плавные переходы, и представить себе, где надо выполнить те или иные виды сопряжения.

Для приобретения навыков построения сопряжения выполняют упражнения по вычерчиванию контуров сложных деталей. Перед упражнением необходимо просмотреть задание, наметить порядок построения сопряжений и только после этого приступить к выполнению построений.

Нахождение точек сопряжения показано на рисунке 14.

Рис. 14. Нахождение точек сопряжения

Подробности Категория: Инженерная графика

Страница 3 из 6

СОПРЯЖЕНИЕ ЛИНИЙ

При вычерчивании деталей машин и приборов, контуры очертаний которых состоят из прямых линий и дуг окружностей с плавными переходами от одной линии в другую, часто применяют сопряжения. Сопряжением называется плавный переход одной линии в другую. На рис. 60 показаны примеры применения сопряжений.

Контур рычага (рис. 60а) состоит из отдельных линий, плавно переходящих одна в другую, например, в точках А , А 1 виден плавный переход от дуги окружности к прямой линии, а в точках В, В 1 - от дуги одной окружности к дуге другой окружности (рис. 60, б). На рис. 60, в изображен двурогий крюк. На чертеже контура крюка (рис. 60, г) в точке А виден плавный переход от дуги окружности D=200 к прямой линии, а в точке В - от дуги окружности радиуса R460 к дуге радиуса R260.

Для сопряжения прямой линии и дуги необходимо, чтобы центр окружности, которой принадлежит дуга, лежал на перпендикуляре к прямой, восставленном из точки сопряжения (рис. 61, а).
Для сопряжения двух дуг необходимо, чтобы центры окружностей, которым принадлежат дуги, лежали на прямой, проходящей через точку сопряжения (рис. 61, 6).

СОПРЯЖЕНИЕ ДВУХ СТОРОН УГЛА ДУГОЙ ОКРУЖНОСТИ ЗАДАННОГО РАДИУСА

При выполнении чертежей деталей, показанных на рис. 62, б, г, е, выполняют построение сопряжения двух сторон угла дугой окружности заданного радиуса. На рис. 62, а выполнено построение сопряжения сторон острого угла дугой, на рис. 62, в - тупого угла, на рис. 62, д - прямого.

Сопряжение двух сторон угла (острого или тупого) дугой заданного радиуса R выполняют следующим образом (рис. 62, а и в).

При построении сопряжения сторон прямого угла центр дуги сопряжения проще находить с помощью циркуля (рис. 62, д). Из вершины угла А проводят дугу радиусом R, равным радиусу сопряжения. На сторонах угла получают точки сопряжения n и n 1 . Из этих точек, как из центров, проводят дуги радиусом R до взаимного пересечения в точке О, являющейся центром сопряжения. Из центра О описывают дугу сопряжения.

СОПРЯЖЕНИЕ ПРЯМОЙ С ДУГОЙ ОКРУЖНОСТИ

Сопряжение прямой с дугой окружности может быть выполнено при помощи дуги с внутренним касанием (рис. 63, в) и дуги с внешним касанием (рис. 63, а).

На рис. 63, а показано сопряжение дуги окружности радиусом R и прямой линии А В дугой окружности радиуса r с внешним касанием. Для построения такого сопряжения проводят окружность радиуса R и прямую АВ. Параллельно заданной прямой на расстоянии, равном радиусу r (радиус сопрягающей дуги), проводят прямую ab . Из центра О проводят дугу окружности

радиусом, равным сумме радиусов и r, до пересечения ее с прямой ab в точке О 1 Точка О 1 является центром дуги сопряжения.

Точку сопряжения с 00 1 с дугой окружности радиуса R . Точка сопряжения C 1 является основанием перпендикуляра, опущенного из центра О 1 на данную прямую При помощи аналогичных построений могут быть найдены точки 0 2 ,

c 2 , c 3.

На рис. 63, б показан кронштейн, при вычерчивании контура которого необходимо выполнить построения, описанные выше.

На рис. 63, в выполнено сопряжение дуги радиуса R с прямой А В дугой радиуса r с внутренним касанием. Центр дуги сопряжения О 1 находится на пересечении вспомогательной прямой, проведенной параллельно данной прямой на расстоянии r, с дугой вспомогательной окружности, описанной из центра О радиусом, равным разности R - r . Точка сопряжения является основанием перпендикуляра, опущенного из точки О 1 на данную прямую. Точку сопряжения с находят на пересечении прямой ОО 1 с сопрягаемой дугой. Такое сопряжение выполняют, например, при вычерчивании контура маховика, показанного на рис. 63, г.

СОПРЯЖЕНИЕ ДУГИ С ДУГОЙ

Сопряжение двух дуг окружностей может быть внутренним, внешним и смешанным.

При внутреннем сопряжении центры O и O 1 сопрягаемых дуг находятся внутри сопрягающей дуги радиуса R (рис. 64, б).

При внешнем сопряжении центры и сопрягаемых дуг радиусов R 1 и R 2 находятся вне сопрягающей дуги радиуса R (рис. 64, в).

При смешанном сопряжении центр О, одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги

радиуса R , а центр О другой сопрягаемой дуги вне ее (рис. 65, а).

На рис. 64, а показана деталь (серьга), при вычерчивании которой необходимо построение внутреннего и внешнего сопряжения.

Построение внутреннего сопряжения.

а) радиусы сопрягаемых окружностей R 1 и R 2

в) радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

0 2 сопрягающей дуги;

б) найти точки сопряжения s 1 и s

в) провести дугу сопряжения.

Построение сопряжения показано на рис. 64, б. По заданным расстояниям между центрами 1 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и O 1 из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О 1 проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 2 , а из центра О - радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 1 0 2 которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.

Для нахождения точек сопряжения точку 0 2 соединяют с точками О и О 1 прямыми линиями. Точки пересечения продолжения прямых 0 2 0 и 0 2 0 с сопрягаемыми дугами являются искомыми точками сопряжения (точки S и s 1).

Радиусом R из центра О г проводят сопрягающую дугу между точками сопряжения s и s 1

Построение внешнего сопряжения.

а) радиусы R 1 и R 2 сопрягаемых дуг окружностей;

б) расстояния и l 2 между центрами этих дуг;

в) радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

а) определить положение центра 0 2 сопрягающей дуги;

б) найти точки сопряжения и s 1 ;

в) провести дугу сопряжения.

Построение внешнего сопряжения показано на рис. 64, в. По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже находят точки О и О 1 из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 , и сопрягающей R , а из центра О 1 - радиусом, равным сумме

радиусов сопрягаемой дуги R 2 и сопрягающей R . Вспомогательные дуги пересекутся в точке O 2 , которая будет искомым центром сопрягающей дуги Для нахождения точек сопряжения центры дуг сое-

диняют прямыми линиями 00 2 и 010 2 . Эти две прямые пересекают сопрягаемые дуги в точках сопряжения S и s1

Из центра 0 2 радиусом R проводят сопрягающую дугу, ограничивая ее точками сопряжения и

Построение смешанного сопряжения. Пример смешанного сопряжения приведен на рис. 65, и где изображены кронштейн и его чертеж.

а) радиусы R x и R 2 сопрягаемых дуг окружностей;

б) расстояния l 1 и l 2 между центрами этих дуг;

в) радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

а) определить положение центра 0 2 сопрягающей дуги;

б) найти точки сопряжения s и s 1

в) провести дугу сопряжения.

По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры 0 и 0 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 и сопрягающей R , а из центра 0 1 - радиусом, равным разности радиусов R и R 2 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке 0 2 , которая будет искомым центром сопрягающей дуги.

Соединив точки О и 0 2 прямой, получают точку сопряжения соединив точки О 1 и 0 2 , находят точку сопряжения s . Из центра 0 2 проводят дугу сопряжения от s до s 1

На рис. 66, а изображена деталь (кронштейн), а на рис. 66, б, в, г показана последовательность выполнения контурного очертания этой детали с построением различных видов сопряжений.

Сайт про анализы. Как лучше контролировать свое здоровье

Сопряжение двух параллельных прямых

Проведение прямой, касательной к двум окружностям

Сопряжение дуги и прямой дугой заданного радиуса

Сопряжение двух дуг дугой заданного радиуса

Последовательность построения

СОПРЯЖЕНИЕ ЛИНИЙ

СОПРЯЖЕНИЕ ДВУХ СТОРОН УГЛА ДУГОЙ ОКРУЖНОСТИ ЗАДАННОГО РАДИУСА

СОПРЯЖЕНИЕ ПРЯМОЙ С ДУГОЙ ОКРУЖНОСТИ

СОПРЯЖЕНИЕ ДУГИ С ДУГОЙ

СХОЖИЕ СТАТЬИ